【文章推介】曲安京︱魏晋南北朝时期穹隆顶墓室结构与牟合方盖
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主持人语
古代文明传承着万物皆数这个理念，万物皆数这个概念在古希腊文明中表现得尤为明显，中国古代文明亦复如是。数理考古与数字人文均以“数”为对象，将文献或者文物中的数据结构提取出来，通过数据的结构分析，或复原文物的设计蓝图，或识别图片符号文化意义。“数理考古”和“数字人文”学科和学术理念的出现是研究材料概念的扩充，有助于历史学、考古学、文献学、科技史等学科研究方法的变革，将对历史学、考古学、文献学、科技史等研究领域在学理价值、内在逻辑等问题上具有积极而深远的影响。
数理考古就本质而言，便是把数据作为史料的学科。通过数理考古来解读中国文明，探寻文物背后的数据所体现的某种结构，这种结构又是怎么设计的？利用数据分析和数学建模，把文物的模型构造复原出来，可以发现很多未知的奥秘。以此恢复文物原来的样子，深刻地还原被岁月尘封的历史，这一过程就构成了数理考古这一新的学术理念。
数字人文，源于人文计算，是在计算机技术、网络技术、多媒体技术等新兴技术支撑下开展人文研究而形成的新型跨学科研究领域。数字化时代，数字技术风起云涌，数字化理念和数字技术的兴起将不断促进研究范式和学术功能发生改变。岩画作为 “世界母语”的共识尚在建构，亟待从世界范围内寻找岩画是全球性文化之证据。作为中华文明的重要组成部分，中国岩画为学界研究我国古代社会的历史、文化、艺术、宗教、美术、科技等提供了大量的原始资料。充分运用数字人文技术对各国岩画图像信息进行采集、比对，为世界各国民族之间迁徙、流动、交往提供证据贡献。
本专题以数理考古和数字人文为视角，《魏晋南北朝时期穹隆顶墓室结构与牟合方盖》一文通过数据的结构分析与数学建模，对东汉到南北朝时期考古发掘中大量墓室出现穹隆顶这一现象进行数理解读，得出这些穹隆顶采用了一种特殊的数学模型：牟合方盖。这个数学模型，是魏晋时期数学家刘徽构造的。由于牟合方盖本身具备天圆地方的几何特征，因此，墓室穹隆顶牟合方盖结构的发现与认证，对中国古代墓葬建筑文化的研究具有重要的价值。《岩画文字符号数字化模糊识别研究——以宁夏大麦地岩画为例》一文从数字人文的视域出发，尝试在对大麦地岩画图形文字符号进行大规模、全面分析的基础上，参照甲骨文象形字对该地岩画图形文字符号进行对比与识读，探究岩画图形文字符号与中国汉文字起源发展的源流关系。通过数字识别技术的应用，对岩画图形文字符号与甲骨文文字相似度进行模糊识别与分析，发现二者之间存在一定的关联性。并且将岩画图形文字符号从元素上进行分类，找出早、中、晚各期的符号图像流通发展规律，使之与具有图画性质的甲骨文象形字进行对比研究，可以发现，岩画图形文字符号明显具有词汇或者早期图形文字的功能，因而岩画图形文字符号是汉文字发展最初阶段可能存在的形式之一。目前该研究仍是一项探索性研究，一旦破解岩画图形文字符号系统，对人类早期文明的认识价值将无法估量。
主持人：束锡红 ，西北大学科学史高等研究院教授，博士生导师。
魏晋南北朝时期穹隆顶
墓室结构与牟合方盖
作者简介
曲安京，现任西北大学科学史高等研究院院长、西北大学史学部执行主任。中国科技史学会数字人文专业委员会主任。第七、八届国务院学位委员会科学技术史学科评议组召集人之一，中国科学技术史学会副理事长（2015-2023）。享受国务院政府特殊津贴，2002年国际数学家大会邀请报告人。2021年陕西省特支计划杰出人才。主要研究方向为数理天文学史、近现代史数学史、数字人文。主持国家社科基金重大项目、国家自然科学基金面上与专项项目12项。
原文刊登于《西北大学学报（哲学社会科学版）》2022年第5期第30—38页。
摘 要
在东汉到南北朝时期的考古发掘中,大量墓室的穹隆顶,都采用了一种特殊的数学模型:牟合方盖。这个数学模型,是魏晋时期的数学家刘徽构造的。由于牟合方盖本身具备天圆地方的几何特征,因此,墓室穹隆顶的牟合方盖结构的发现与认证,对中国古代的墓葬建筑文化的研究具有重要的价值。从墓葬类型学的角度,根据郑州上街西晋墓室结构的讨论,初步构建了东汉到南北朝时期采用牟合方盖为穹隆顶结构的墓室的标准模型。
关 键 词
数字人文；墓葬; 数理考古; 牟合方盖; 类型学
问题的提出
2011年,郑州文物考古研究院对位于郑州市上街区的西晋墓葬群进行了考古发掘。2019年,《文物》刊发了其中三个墓葬的发掘报告。其中M1为单室砖室墓; M2与M3形制相同, 为双室砖室墓。发掘报告认为, 这三座墓葬均为中原地区晋墓常见的形制。尽管这三个墓葬的墓室受到了不同程度的严重遭扰, 但其基本建筑结构大体上保留了下来, 特别是M3的前室与后室, 除了顶部的盗洞, 都保持了原始的建筑形状。图1保存了M3前后两个墓室的外观影像, 可惜的是, 图中建筑的隆顶部分已被拆除。
这些墓室建筑的形制是类似的, 每个墓室都是由底部的立方柱和上部的穹隆顶构成, 如图2所示, 墓室四壁微外弧, 以条砖错缝平砌而成, 顶部有宽约0.5米见方的透气孔。M3的后室穹隆顶部有一个盗洞。
有趣的是这些墓室穹隆顶的结构,如图1所示,其横截面均为正方形。这个特别的穹隆顶,形似魏晋时期的数学家刘徽曾经构造的一种几何模型:牟合方盖。在近年来的考古实践中,可以频繁地看到东汉到南北朝时期的大量墓室都采用了牟合方盖的穹隆顶结构,其地域分布非常广泛,远超中原的范围。例如,2021年报道了山西大同发掘的北魏贾宝墓,2013年报道了在新疆库车友谊路发现的魏晋十六国时期的墓葬群,等等。
作为牟合方盖的实物模型,这是首次在中国古代的墓室建筑中被认证,以前的考古学者与数学史家从未将这两者联系起来。我们是否可以根据牟合方盖的几何特征,复原郑州上街西晋墓室建筑的设计模型,并由此从考古类型学的视角,探讨中国古代墓室建筑形制的数学结构与天文意义?
“研究确定考古学遗存的时空关系的地层学与类型学,是考古学的基本理论和方法。”通过分析历史遗迹和遗物的形态变化过程,发现其演变规律,是考古类型学的主要内容,因此考古类型学在各种文物器具的归类与断代研究中扮演了非常重要的角色。
本文试图解决的问题是:作为数理考古的一个案例,能否根据郑州上街区的西晋墓葬,尝试构建东汉到南北朝时期墓室结构之类型学的标准模型?为此,我们需要先了解一下,什么是牟合方盖?为什么这个数学结构是重要的?
牟合方盖与数理考古
历史学研究所依赖的基本对象,是史料。早期的史料,仅仅是指文字记录的文献。考古学的出现,将文物包括遗迹,扩充为史料,这是历史学研究范式的第一次重要的扩张。科技考古,则进一步将文物,如陶瓷、尸骨、铜器等等,作为试验“材料”,扩充为史料,通过对“材料”成分的分析,重构或还原文物所承载的历史,成为历史学研究范式的第二次重要的扩张。
通过对“史料”定义的扩张,导致对史学研究疆域的扩展,使传统的史学研究不断焕发出勃勃生机。近年来,笔者尝试将文物与遗迹的“数据”,扩充为可以利用的史料,通过数据清洗与数学建模,利用这些过去不被关注的“数据”,重构或还原古人的设计蓝图,与科技考古相对应,称之为数理考古。
将“数据”作为可以利用的史料,纳入古代史的研究范畴,其学理依据是,在古代文明的构建中,“数”扮演了非常重要的角色。在北大秦简中我们看到,陈起在回答鲁久次的提问时,谈到了“万物皆数”的观点:
鲁久次问数于陈起曰：“久次读语、计数弗能并彻，欲彻一物，何物为急?”陈起对之曰：“子为弗能并彻，舍语而彻数，数可语也，语不可数也。”久次曰：“天下之物，孰不用数?”陈起对之曰：“天下之物，无不用数者。”
在各种早期文明中,无论是古希腊还是古中国,都将“数”作为其文明构建的核心要素。因此,将文献、文物、遗迹中所蕴含的“数”作为可利用的史料,通过数据清洗、数学建模,可以有效地、深刻地还原被岁月尘封的历史，再依此构建数学模型,阐释大量类似考古发现的历史价值。
例如,我们根据北大秦简中陈起的文字,复原了从未在传世文献中记录的“三圆三方”的宇宙模型 。这个模型的最先使用,是冯时在阐释红山文化的三环石坛天文意义时提出的 。在近几年的考古发掘中,可以看到大量的蕴含了这个结构的遗址。
根据郑州上街西晋墓室的牟合方盖穹隆顶结构,重构东汉到南北朝时期的墓室结构的数学模型,能否成为古代墓葬研究的一个可以应用的类型学的标准模型呢?如果可以实现,便可为考古学者在发掘类似的具有牟合方盖结构的墓葬中提供一套简明的判别标准。
郑州上街西晋墓室的核心结构,是所谓的牟合方盖。牟合方盖是一个重要的数学模型。这个模型最早是魏晋时期的著名数学家刘徽提出来的。
《九章算术》“少广章”的开立圆术,给出了一个球体积的计算公式,刘徽在注《九章》时证明,《九章算术》中的球积公式是错误的。为此,他构造了“牟合方盖”。不过,刘徽虽然发现了问题,但并没有解决问题,他说“敢不阙疑,以俟能言者”。后来,祖冲之父子利用牟合方盖的模型,推导出了正确的球积公式。由于牟合方盖在现实世界中有多种应用,因此被认为是一个非常重要的数学结构。根据刘徽的描述,可以按如下的方式构造一个牟合方盖:
简而言之,就是当两个直径相同的圆柱作十字正交,此时,两个圆柱体的公共部分就是牟合方盖,如图3所示。牟合方盖有一个显著的几何特点,每一个横截面均为正方形,并且过其顶点,将每一层截面之正方形边长的中点连接起来,形成一个圆。
比较图1与图3,不难发现,郑州上街晋墓墓室的穹隆顶,形似半个牟合方盖。穹隆顶的底面是一个正方形,剖面是半个圆。由此可以寓意大地为方,天盖为圆。这就是牟合方盖的几何意义。
假设郑州上街西晋墓室的穹隆顶就是按照牟合方盖的模型设计的，那么我们就可以根据发掘报告的实测数据,复原郑州上街西晋墓室建筑的设计模型,并由此考察这些墓室在构建时的数学与天文意义。
河南郑州上街
西晋墓室模型复原
2011年5月,郑州市文物考古研究院共清理了8座西晋墓葬,其中墓葬M1、M2、M3保存相对较好,出土器物丰富,发掘简报给出了这三个墓葬的考古数据。
由于M1墓室的遭扰严重,墓室的穹顶与四壁条砖大多损坏,且M1为单室砖室墓,其“平面呈长方形”,与M2和M3的双室砖墓室、平面呈正方形的结构有一定差异。为了复原这些西晋墓室建筑的设计模型,我们仅根据M2与M3的四个墓室的实测数据,来进行墓室建筑设计模型的复原研究。
根据发掘报告,M2与M3的四个墓室的横截面均为正方形,我们将发掘报告中各个墓室底部的边长与墓室高度的实测数据罗列如表1所示。按照西晋的尺度,1晋尺=0.2412米，将这些实测数据转换成相应的西晋的尺数。例如,M2前室底部的边长为2.3—2.4米,折合成晋尺,边长为9.5—10.0晋尺。
如前所述,这些墓室的基本形制由两个部分构成（如图1、图2所示）,底部是一个立方柱,上面扣了一个穹隆顶。穹隆顶的每个横截面,都是由条砖错缝平砌而成的正方形,因此,整个穹隆顶的建筑结构形似半个牟合方盖,所以,穹隆顶的高度,应该等于底部正方形边长的一半。由此可知墓室底部立方体的高度,我们称之为“底高”,即
底高=高-边长／2
我们将表1中M2与M3的四个墓室的实测数据,按晋尺数据依四舍五入取整,数据清洗后的结果罗列如表2所示,由此可以得到这四个墓室建筑设计模型的基本数据。非常有趣的是,这些数据极为整端,其底高均为八晋尺。
我们据此可以将这些墓室建筑的设计模型绘制如图4所示。墓室中心的剖面如图5所示,每个墓室无论高度如何,底高均为8晋尺;穹隆顶的剖面是半个正圆,其高度为墓底边长的一半;墓室的高度与大小,取决于墓室平面正方形的边长。如果规定采用牟合方盖为穹隆顶的墓室结构的底高为8晋尺,则墓室平面的边长就成为这种墓室结构的唯一参数。这就是郑州上街西晋墓室结构的理论设计模型。
由表2可以得出如下结论:M2与M3相应墓室的差,等同于各自前后墓室的差。其中M2的前室与M3的后室大小是一样的。M2的后室、M2的前室(及M3的后室)、M3的前室,在高与边长两个维度上均形成等差数列,其中边长的公差为2晋尺,高度的公差为1晋尺。
值得强调的是,采用2晋尺为底部边长等差数列的公差,1晋尺为高度等差数列的公差,在建筑设计尺寸取整数的前提下,这是不同墓室底部边长与高度可能取得的最小的公差值。由此可见,表2归算出来的M2与M3的四个墓室的基本数据,具有很强的关联性,前后墓室的底部边长与整体高度,按一定大小比例设计,非常规律,由此可以体现不同墓主的地位身份。
我们把表1中边长的实测数据取平均值,将设计模型数据(表2)换算成单位“米”,罗列如表3所示,可以看到,模型数据与实测数据的绝对误差的最大值不超过11厘米,平均绝对误差不超过6厘米。从墓室的建筑与考古发掘的精度来看,这个误差,完全在正常的测量范围之内。
由于表2给出的模型数据极为规律,而设计模型的误差又非常小,由此可以推论,我们复原的郑州上街的西晋墓室建筑的设计模型是合理的。
魏晋南北朝时期的墓室
根据前面的讨论,可以得出这样的结论:郑州上街西晋墓室的结构,采用了这样的数学模型,墓室的穹隆顶,相当于天盖,如图4所示,过其中心点纵截面是个半圆,代表了“天圆”,穹隆顶的每一个横截面,都是正方形,体现了“地方”。因此,牟合方盖所具备的几何特性,可以完美地体现天圆地方的宇宙模型，将这样的数学结构引入墓室建筑的设计模型中,符合古人与天地沟通的愿望。
根据表2可以看出,郑州上街西晋墓葬M2与M3墓室的底部,统一为高8晋尺的立方体,这是一个基本数据,此数在古代墓室建筑中是否有根据,留待考古学者与古建筑学家的进一步考证。一个有趣的关联是:中国古代天文学中测量晷影的圭表的标准高度,就是8尺。从郑州上街西晋墓葬群可以看出,这些墓室的形制是相似的,其大小完全取决于墓室平面正方形的边长,这是判定此类墓室规格的唯一参数。
如前所述,以牟合方盖为穹隆顶的墓室结构,在东汉到南北朝的考古发掘中是常见的。2017年,山西大同市考古研究所对该市的一处北魏墓葬群进行了抢救性发掘,共清理44座墓葬,其中M13出土的文物明确记载了墓主贾宝的身份及下葬的时间。由2021年发表的北魏贾宝墓发掘报告可知,M13的穹隆顶采用了牟合方盖的模型。如图6、图7所示。
根据发掘报告,贾宝墓(M13)的墓室位于甬道的北侧,单室四角攒尖顶砖券墓,墓室平面呈弧边长方形,南北宽5.4米,东西长4.7米,高4.9米。由图6可以看到,M13墓室南北方向的剖面图显示, 墓室穹隆顶的高度,比东西边长的一半要大。这说明穹隆顶所蕴含的标准的半圆,应该在南北方向的剖面。如此,则以M13南北方向边长5.4米为穹隆顶剖面半圆的直径,对于采用牟合方盖为穹隆顶的墓室,其底高可以根据公式(1)计算而得:
底高=4.9-5.4／2=2.2（米）
假设北魏贾宝墓在结构上与郑州上街西晋墓相同,也取底高为8尺,则可以据此得出贾宝墓M13所采用的尺度值:
1尺=2.2／8=0.275（米）
此数与北魏中期的尺度0.28米几乎吻合。而根据M13的出土文物,其墓主贾宝为北魏平城时期人,下葬日期为太和元年(477)十月初十,正好在北魏中期。
我们按照北魏中期1尺为28厘米,对贾宝墓M13墓室的数据进行归算,结果如表4所示。据此,可以推测北魏贾宝墓M13的设计蓝图,大体上是这样的:墓室平面,是南北边长19北魏尺的近似正方形。墓室正中东西方向的剖面图,底高8北魏尺,整体高度17.5北魏尺,穹隆顶半圆的直径19北魏尺。
考古学者可以利用这个模型,对大同北魏墓葬群所有采用了牟合方盖为穹隆顶结构的墓室的平面南北方向的边长进行测算,按1北魏尺=0.28米换算,以确定墓葬的规格。
近期考古发掘的另外一个例子,是新疆库车县的魏晋十六国墓葬群。2007年,在新疆阿克苏地区库车县友谊路的建设工地,发现了一个墓葬群。新疆文物考古研究所在2007年和2010年,两次对其中的15座墓葬进行了清理。发掘报告详细报道了保存较好的M1、M3、M11、M12、M13的发掘情况,这些墓葬都采用了牟合方盖的穹隆顶结构。如图8所示。
根据这两次发掘报告,我们将库车县友谊路的五个主要墓葬的墓室之实测数据罗列如表5所示。由此可以看出,这些墓室的平面基本上都是正方形。其边长较郑州上街西晋墓稍大,但是,墓室的高度较之又矮一些。
按照牟合方盖为穹隆顶的墓室结构,我们可以利用公式(1),根据实测的墓室平面边长和墓室高度,将墓室的底高计算出来。除了M1的墓顶残破,准确的墓室高度无法测量,其余墓室的测量数据完整,我们取墓室之长与宽的平均值为其平面边长的实测值,推算各个墓室之底高,结果罗列在表5的最后一栏。
魏晋南北朝时期的尺度,在0.24—0.31米之间,若假设墓室底高8尺,则墓室的底高介于1.9—2.5米之间。由表5可以看出,库车魏晋十六国墓室的底高,都远远小于1.9米。
这个事实说明了这样的问题:或者库车魏晋十六国的墓室设计者采用的尺度远远小于这个时期中原各国采用的数值,或者他们的墓室结构虽然采用了牟合方盖为穹隆顶,但是其墓室的底高,并未采用8尺的标准,换句话说,底高8尺或许并非所有采用牟合方盖为穹隆顶的墓室统一采用的数据,底高的尺数本身,也与墓主的身份地位相关联。
结 论
牟合方盖,作为一个数学结构,在现实生活中有很多的应用。但是,这个模型出现在中国古代墓室建筑的构造中,似乎从未被科学史界、考古与历史学界的同仁们注意到。因此,郑州上街西晋墓葬结构的发现和认证,是有重要意义的。
如果我们根据考古发掘数据,对采用牟合方盖模型为穹隆顶的墓室的底高、边长与墓主的身份、地位、时代相关联,就有可能从墓葬类型学的角度,构建出魏晋南北朝时期这种类型的墓室的演化规律。本文对郑州上街西晋墓室结构的讨论,初步推测了这个时期采用牟合方盖为穹隆顶结构的墓室的标准模型:底高通常为8尺,墓室平面边长是确定墓室规格的唯一参数（如图4、图5所示）。
墓室作为一类特殊的地下建筑, 有可能寄予了设计者某些神圣的理念和精巧的构思。郑州上街西晋墓室的穹隆顶, 采用了魏晋数学家刘徽构造的数学模型: 牟合方盖。由于牟合方盖本身具备天圆地方的几何特征, 因此, 西晋墓室穹隆顶的这个结构的发现, 对中国古代墓葬建筑文化的研究具有重要的价值。
在墓室的构造中,利用牟合方盖作为建筑模型,这应该是中国数学史与建筑史上的首次发现。作为一个标准的数学模型,这个结构出现在公元三世纪的西晋,与魏晋时期刘徽的生活年代相近,两者之间有什么联系,值得进一步的研究。此前的墓葬设计,是否出现过这个模型?后世的墓室结构,是否沿袭了这样的模型?都是值得未来的考古发掘关注的问题。
古代墓室是考古发掘中最常见的地下建筑,遗憾的是,除非墓室墙壁上绘制了图文,一般的条砖砌垒的墓室的隆顶在发掘中都可能被拆卸,且不再复原,因此破坏了整个墓室原有的建筑结构。从大量的墓葬发掘报告来看,人们对随葬器物的重视,要远远高于对墓葬结构的保护。作为地下遗址建筑,墓室的结构在建筑美学、数学模型、天文意义等方面都有重要的研究价值。因此,在考古发掘过程中,针对一些具有特殊形制的墓室建筑,应该予以完整的保护,尽量不要拆除。
我们可以期待通过更多新的考古发掘,将以牟合方盖为穹隆顶的西晋墓室结构的数学模型,从类型学的角度予以标准化,从而为墓葬考古,建立一种应用简便的、可以参考的、具有很强的解释功能的序列参数与数学模型。
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责任编辑 | 樊丹丹
审 核 | 卫 玲
1913年创刊
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注：本文发表于《西北大学学报（哲学社会科学版）》2022年5期第30—38页。文中插图由作者提供。欢迎转载，转载请注明：文章转载自“西北大学学报哲学社会科学版”微信公众号。敬谢！